公设
I.1 过现点可以作一条直线。
I.2 直线可以向两端无限延伸。
I.3 以定点为圆心及定长的线段为半径可以作圆。
I.4 凡直角都相等。
I.5 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。
半球仪
早期数学大部分是由于贸易及农业的需要而发展起来的，但也与宗教仪式及天体运行有关联。历法的设计基本上是天文学家和牧师的工作，而天体学则需要特殊的数学。在不同的文明社会，人们记录天体的运动并制造出各种仪器来观察星空。图为17世纪丹麦天文学家制作的半球仪。
公理
I.1 等于同量的量彼此相等。
I.2 等量加等量，其和仍相等。
I.3 等量减等量，其差仍相等。
I.4 彼此能够重合的物体是全等的。
I.5 整体大于部分。
关于定义：
《几何原本》开始于一系列定义，这些定义分为三类，第一类指明某些概念，比如定义I.1、I.2、I.5，指派了术语点、线、面（注意：欧几里得的线的概念也包含曲线）。第二类是由原概念衍生的新概念。第三类，是非实质性定义，从表面上看，这些定义是实质性的，其实不然，比如定义I.4所表述的直线为“点沿着一定方向及其相反方向无限平铺”，这一定义几乎是不可用的，最多指出将要讨论的线是直线。
有可能有些定义不是欧几里得所著，而是编著的后人加上去的，另一种可能是来源于其他著作，有可能更古老。
关于公设：
紧接定义之后是几个公设。公设是自明的，意即无需证明的显在事实，尤其表现在平面几何中。公设内容多为作图。
关于量与公理：
公理也是自明的，涉及各种不同类型的大小。线段的量出现得最频繁，另一些量是直线的角和面（平面图形），也包含其他类型。在命题III.16中直线角与曲线角相比较，以示直线角是平面角的一特殊类。这吻合欧几里得在定义I.9和定义I.8中的定义。
在卷三中，出现圆上的弓形的量，仅相等圆的弓形可以比较与相加，所以，相等圆上的弓形组成量，同不相等圆上的弓形是另一类不同的量。这些量皆不同于线段量。无论图形的哪个区域进行比较，不同的曲线不被讨论。
卷五讨论比例理论，并不涉及特殊类型的量。比例并不来自特殊类型的量，它们可以相比，但不能相加。卷七至卷十讨论数论。可以认为是讨论亚里士多德提出的数理。从第十一章开始讨论立体，这是本书讨论的最后一个类型。
命题I.1
已知一条线段可作一个等边三角形。
设：AB为已知的线段。
要求：以线段AB为边建立一个等边三角形，以A为圆心、AB为半径作圆BCD；再以B为圆心、以BA为半径作圆ACE；两圆相交于C点，连接CA、CB。
因为：A点是圆CDB的圆心，故AC等于AB（定义I.15）。
又，点B是圆CAE的圆心，故BC等于BA（定义I.15），CA等于AB；所以：线段CA等于CB等于AB。
因为：等于同量的量互相相等（公理I.1）；所以：CA等于CB。所以：三条线段CA、AB、BC相等。
所以：三角形ABC是建立在线段AB上的等边三角形。
证完
注解
将这一命题作为《原本》的第一命题是令人愉快的，三角形结构清晰，对等边三角形的证明过程，也条理清晰，当然对C点可以有两个选择，任意一个皆可。或许，欧几里得应将命题I.4作为《原本》的第一命题，因为该命题逻辑上不依赖于前三个命题；但是，欧几里得的第一命题的选择，也自有他的理由，首先，本书接触五个正立体，从一个正三角形开始，有其美学意义。另外，命题I.2、I.3皆需要命题I.1，命题I.2和命题I.3给出了移动线的结构，命题I.4虽然在逻辑上不依赖于命题I.2和命题I.3，但却引用了叠合的概念，某种意义上讲，是移动的点和线。
欧几里得在某个命题结束时，用了“证完”一词。这是几何学命题证明结束的一个标准。尽管两千多年来这部天才的巨著受到了历代数学批评家们的挑剔，并且他们也指出了不少漏洞，但是它的光辉却丝毫未损。本命题是两千余年来受到批评最多的一个命题，批评者指出，如此简洁明了的命题，却充满了漏洞，这是陈述不够充分的逻辑裂缝。为什么生成C点？证明一开始，点C就被设定为圆的相交点，但它的存在却没有证明。欧几里得虽然在平行公设里说到点的生成，但那一公设却与该命题无关。所以点C的存在不能获得保证。事实上，在几何学模式中，不相交的圆自然是存在的，所以，在这里还要求欧几里得尚未定义的公设出现。在第三卷中，欧几里得小心谨慎地分析圆相交的可能情况，但无论他怎么小心，还是得出了错误的定理。
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