公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的弟子希勃索斯发现一个惊人的事实：一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公约的，比如，若正方形边长是1，则对角线的长度不是一个有理数。这一不可公约性与毕达哥拉斯学派“万物皆为数”（指有理数）的哲理大相径庭，以至于引起了该学派领导者的惊恐和恼怒。希勃索斯也因此遭到百般折磨，终被沉舟身亡。不可公约的本质是什么，长期以来众说纷纭。15世纪，意大利达·芬奇称之为“无理的数”。
本卷讨论无理量，即不可公约的线段。这是很难读懂的一卷。
几何抽象
蒙德里安的作品主要是几何符号式的绘画风格，他在平面上把横线和竖线结合起来，形成直角或长方形，并在其中加入红黄蓝三原色。他的艺术被称之为“冷抽象艺术”“几何抽象艺术”。
本卷提要
※定义X.1，可公约量的定义。
※命题X.1，竭尽性原则。
※命题X.2，一个不可公约量的描述。
※命题X.9，正方形可公约与长度可公约的性质与关系问题。
※命题X.12， 公约性的传递。
勾股圆方图
勾股各自乘，并而开方除之，这是勾股定理在中国的最早记载。最早提出勾股定理的是公元前六七世纪一个叫陈子的人，他大约和毕达哥拉斯同时代或更早。当时陈子认为地是平的，他从太阳向地平面作垂线，垂足叫做日下点，太阳、日下点、观测点三者构成一个直角三角形。从观测点到日下为勾，日下点至太阳的距离为股，勾、股各自乘，相加后开方，就可得到观测点到太阳的距离。后赵君卿在《周髀》一书中给予了定理的证明。图中就是赵君卿《勾股圆方图》的注。
※命题X.29引理1，找出两个平方数，它们的和也是个平方数。
定义（一）
定义X.1 能被同一量测尽的量称可公约量，而不能被同一量测尽的量称为不可公约量。
定义X.2 当一些以线段为边的正方形能被同一个面测尽时，这些线段被称为正方可公约。当一些线段上的正方形不能被同一面测尽时，这些线段被称为正方不可公约。
定义X.3 由以上定义可证，给定一条线段，那么该线段的直线分别存在无穷个可公约线与不可公约线，一些是其长不可公约，一些是其正方不可公约。给定的线段被称为有理线段。凡可公约线段，无论是长可公约还是正方可公约都称为有理线段；不可以公约的称为无理线段。
定义X.4 给定线段上的正方形称为有理的。可公约此面积的称为有理的；不可公约的称为无理的；凡构成无理面的线段称为无理线段，即其面为正方形时指的是它们的边，当面为其他直线图形时，则指其与其面相等的正方形的边。
注解
定义X.1
两个同类量a和b，如果有另一个同类量c同时是二者的倍数，那么两个量是可公约的。这即是说，有数字m 和n，该二数呈nc=a，mc=b。参考定义V.5关于相等比例的定义（同时也是命题）。如果两个量不可公约，那么它们被称为不可公约数。
命题X.2到X.8以及其后的其他几个命题处理可公约量和不可公约量。特别在命题X.5和X.6中，陈述了如果两个量的比率是两个数的比率，那么这两个量是可公约的。举例说，如果nc=a ，mc=b， 那么量的比率a∶b 同于数之比即m∶n。反之，如果a∶b=m∶n， 那么a的一部分1/ n等于b的一部分1/m 。
数的比率在现代数学中称为有理数，同时另一种比率称为无理数。不幸的是，欧几里得在定义3中定义“有理的”和“无理的”不同于现代数学。
定义X.2
注意这一定义仅仅适用于线段，即是说仅线段方可说成是“正方可公约”的，当然，可公约线段也是正方可公约的，但正方可公约的线却不就是可公约的线。换个词语说是“仅正方可公约”。这一现象的著名例子是正方形的边a和对角线b。它们是正方可公约的，因为b上的正方形是a上的正方形的两倍（根据命题I.47），但它们是不可公约的线段。用现代术语表述，我们说2的平方根不是有理数。
定义X.3
这一定义的证明在命题X.10 中涉及到，这一命题涉及仅正方可公约且正方不可公约的线段。
欧几里得使用“有理”和“无理”这个词不同于现代数学，也不同于他之前和之后的数学家。其词义分别等于“可公约”和“不可公约”两个词。但是当应用在线段中时欧几里得又使它们等于正方可公约和正方不可公约。首先，一条线段被选择为一个标准，于是，如果它是正方可公约的，另一条线段被称为有理线，相反则是无理的。于是，在一条标准线段上的正方形的对角线是有理的，即使它与标准线不可公约，因为它与它是正方可公约的。
拉格朗日的《分析力学》
18世纪的数学家们创立的分析力学的最终成就是拉格朗日方程。拉格朗日的分析力学是由分析的方法推出包括固体力学和流体力学在内的所有力学。他发明的变分法正是分析力学的重要工具。1788年，《分析力学》正式出版，拉格朗日在书中提出了著名的拉格朗日方程。由虚功原理和达朗贝尔原理可以得到所谓的“力学普遍方程”。在此基础上，拉格朗日进一步引进了广义坐标、广义速度和广义力，将力学普遍方程改造成适用于几乎一切力学系统的拉格朗日方程。
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