所以：DC比CB同于CB比BD。又，DC大于CB，所以：CB也大于BD。
所以：当线段CD被分成中外比时，CB是较大线段。
所以：如果一条线段上的正方形是它的部分线段为边的正方形的五倍，那么，这些线段的两倍被分成中外比时，其中较长的线是原线的所余部分。
证完
引理
也可证明出：两倍AC大于BC。
如果不是，设BC是CA的两倍。
于是：BC上的正方形等于CA上的正方形的四倍。
所以：BC、CA上的正方形之和是CA上的正方形的五倍。而，根据假设，BA上的正方形也是CA上的正方形的五倍。
所以：BA上的正方形等于BC、CA上的正方形之和，这是不可能的（命题VI.1）。所以：CB不是AC的两倍。
类似地，我们也可以证明出，线段CA的两倍不小于CB；因为这更不合理了。
所以：AC的两倍大于CB。
证完
注解
这一命题没有在《原本》中再得以利用，它是前一命题XIII.1的逆命题。
命题XIII.3
如果一条线段被分成中外比，那么，较小线段与大线段的一半之和上的正方形，是大线段一半上的正方形的五倍。
设：点C分线段AB为中外比，AC为较大线段，AC被D点平分。
那么我说：BD上的正方形是DC上的正方形的五倍。
建AE是AB上的正方形，且设已作出图形（命题I.46）。
因为：AC是DC的两倍，所以：AC上的正方形是DC上的正方形的四倍，即RS是FG的四倍。
又，因为：AB、BC构成的矩形等于AC上的正方形，而CE是AB、BC构成的矩形，所以：CE等于RS。
又，RS是FG的四倍，所以：CE也是FG的四倍。
又，因为：AD等于DC，所以：HK也等于KF。
因此：正方形GF等于正方形HL。
所以：GK等于KL，即，MN等于NE，因此：MF等于FE。
而，MF等于CG，所以：CG等于FE。
以上两边与CN相加，所以：折尺形OPQ等于CE。
又，CE已经被证明等于FG的四倍，所以：折尺形OPQ也等于正方形FG的四倍，所以：折尺形OPQ和正方形FG之和等于FG的五倍。
又，折尺形OPQ与正方形FG之和是正方形DN。又，DN是DB上的正方形，且GF是DC上的正方形，所以：DB上的正方形是DC上的正方形的五倍。
所以：如果一条线段被分成中外比，那么，较小线段与大线段的一半之和上的正方形，是大线段一半上的正方形的五倍。
证完
注解
这一结果用在命题XIII.16 中，证明二十面体是给定球的内接多面体。
命题XIII.4
如果一条线段被分成中外比，那么，整体线上的正方形与较小线段上的正方形之和，是较大线段上的正方形的三倍。
设：AB在C点被分为中外比，AC为较大线。
那么我说：AB、BC上的正方形之和是CA上的正方形的三倍。
在AB上建正方形ADEB，且设图形已作出（命题I.46）。
那么，因为：AB在C点被分成中外比，AC为较大线段，于是：AB、BC构成的矩形等于AC为边的正方形（定义VI.3、命题VI.17）。
清华三教授
中国古代数学有着光辉灿烂的传统，但自明代以后由于停滞不前而落后于西方。20世纪初，伴随着科学与民主日益高涨的呼声，中国学者踏上了学习西方先进数学知识的艰难历程。20世纪20年代是中国现代数学发展道路上的关键时期，全国各地的大学纷纷创办数学系。1927年，清华学校大学部正式成立数学系，郑之蕃（图左）任系主任。1928年，清华学校改称清华大学，熊庆来（图中）出任数学系主任，不久，留美博士杨武之（图右）加入。三人通力合作，共同谱写了清华大学的数学传奇，营造了当时中国数学的一方乐土。
又，AK是由AC、BC构成的矩形。且HG是AC上的正方形，所以：AK等于HG。
又，因为：AF等于FE，令CK与以上两边相加，于是：整体AK等于整体CE，所以：AK、CE之和等于AK的两倍。而AK、CE之和等于折尺形LMN与正方形CK之和，所以：折尺形LMN与正方形CK之和是AK的两倍。
又，进一步，AK也被证明等于HG，所以：折尺形LMN与正方形CK、HG之和是正方形HG的三倍。
又，折尺形LMN与正方形CK、HG之和是整体正方形AE、CK之和，它也是AB、BC上的正方形之和，同时HG是AC上的正方形。
所以：AB、BC上的正方形之和是AC上的正方形的三倍。
所以：如果一条线段被分成中外比，那么，整体线上的正方形与较小线段上的正方形之和，是较大线段上的正方形的三倍。
证完
注解
这一命题和下面三个命题皆是为命题XIII.17做的准备，在这一命题中，建十二面体。
命题XIII.5
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