公元前387年，柏拉图在雅典创立了哲学学园。他非常重视数学，在教学科目中开设了代数与几何课程。但他片面强调数学在训练思维中的作用，忽视其使用价值。他希望通过学习几何来培养逻辑思维能力，利用几何给人的强烈印象来将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中。他在学园门口立了一个牌子，牌子上面有一行字：不懂几何者免进。
该卷主要讨论的是毕达哥拉斯学派的几何代数学。
最后的晚餐
达利发现了特别适合于他超现实主义艺术的新几何。他把第四维空间与非现实或潜意识的更高维结合起来。《最后的晚餐》发生在柏拉图学派用来象征整个宇宙的一个十二面体之中。
本卷提要
※命题II.1，如果y=y+y+…+y，那么xy=xy+xy+…+xy，也可以用单一恒等式表示为：x（y+y+…+y）=xy+x y+…+x y。
※命题II.2，如果x=y+z，那么x=xy+xz，用等式表示这两个变量有多种方式，比如：（y+z）2=（y+z）y+（y+z）z，或者x=xy+x（x－y）。
※命题II.3，如果x=y+z，那么xy=yz+y，也可以表示为：（y+z）y=yz+y和xy=y（x－y）+y。
※命题II.4，如果x=y+z，那么x=y+z+2yz。等式表示为：（y+z）2=y+z+2yz。
浮力定律
浮力定律的发现是阿基米得广为世人熟知的故事之一。有一天他从澡盆里跳出来，跑到大街上大喊：“我找到了！”产生这一怪异举动的原因在于，当他坐进澡盆时，看见水从盆沿溢流出来，于是想出了计算制作国王皇冠用了多少黄金的方法——把皇冠放入注满水的容器中，溢出水的体积相当于皇冠的体积。这就是著名的浮力定律。
※命题II.5、II.6，等式可表示为：（y+z）（y－z）+z=y。
※命题II.7，如果x=y+z，那么x+z=2xz+y。等式可表示为：x+z=2xz+（x－z）2。
※命题II.8，如果x=y+z，那么4xy+z=（x+y）2。等式表示为：4xy+（x－y）2=（x+y）2。
※命题II.9、II.10，等式可表示为：（y+z）2+（y－z）2=2（y+z） 。
※命题II.12、II.13，余弦定理的几何模型。
※命题II.14，建一个正方形等于已知直线图形。完成从卷一开始的关于面的理论的建设。
定义
II.1 有一个直角的平行四边形称为矩形。
II.2 在任何平行四边形中，以此形的对角线为对角线的小平行四边形与两个相应的补形构成的图形称为折尺形。
命题II.1
两条线段，其中一条被截分成许多段，那么以这两条线段为边构成的矩形的面积等于各截线段与未截的那条线段为边所构成的矩形面积的和。
设：a和BC为两条线段，BC被任意点D及E切割。
那么我说：a与BC的积等于a与BD、a与DE、a与EC之积的和。
令：从B点引出BF线垂直于BC（命题I.11）；在BF线上选G点，使BG等于a（命题I.3）；
过G点引出G H线平行于B C（命题I.31）；通过D、E、C三点作DK、EL、CH平行于BG。
那么：BH等于BK、DL、EH之和。
又因为：BG等于a，BH是GB、BC构成的矩形；
所以：BH是线a与BC之积；
又因为：BG等于a，BK包含GB、BD；
所以：BK是线a与BD的积；
又因为：GB等于a，GB等于DK（命题I.34）；
所以：DL等于线a与DE的积；
同理：EH等于线a与EC的积。
因此：a与BC的积等于a与BD、a与DE、a与EC之积的和。
所以：两条线段，其中一条被截分成许多段，那么以这两条线段为边构成的矩形的面积等于各截线段与未截的那条线段为边所构成的矩形面积的和。
证完
命题II.2
一条线段被任意分成两部分，这两部分与原线段为边所构成的矩形面积之和，等于以原线段为边所构成的正方形的面积。
设：线段AB被一任意点C所切割，那么我说：AB、AC构成的矩形与AB、BC构成的矩形面积之和等于AB上的正方形面积；
令：过C点作CF平行于AD或BE；
那么：AE等于AF加CE（命题I.46、I.31）。
既然：AD等于AB，BE等于AB；
那么：AE是AB上的正方形；AF是由AB、AC构成的矩形，CE是AB、BC构成的矩形（定义II.1）。
所以：AB、AC构成的矩形加AB、BC构成的矩形等于AB上的正方形。
所以：如果一条线段被任意分成两部分，这两部分与原线段构成的矩形之和，等于原线段所构成的正方形。
证完
命题II.3
如果一条线段被任意分成两段，那么该线段与两条小线段之一所构成的矩形，等于两条小线段所构成的矩形与前面小线段上的正方形的面积之和。
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