中国《九章算术》第一章方田31题：“今有方田，周三十步，径十步。问为田几何？”这里需求的是田的面积。在这里，既给出了直径，又给出了圆周长，圆周率π=3，和《圣经·旧约》里记载的所罗门建造宫殿时“又铸了一个铜海，样式是圆的，高五肘，径十肘，围三十肘”中的一样。中国《周髀算经》里，记述公元前1100年周公与商高的谈话：商高曰：“数之法出于圆方。”对于这句话，中国的赵爽在公元前222年，也就是秦始皇统一中国的前一年，挥笔注曰：“圆径一而周三。”
本卷阐述圆、弦、割线、切线、圆心角、圆周角的一些定理。
消失的地平线
《消失的地平线》反映了康定斯基关于点、线、面的抽象绘画理论，三角形、圆形以及方形与直线的巧妙组合构成了一幅壮丽的图画。
本卷提要
※命题III.1，如何找到一个圆的圆心。
※命题III.17，如何作出一个圆的切线。
※命题III.20、III.21、III.22，圆内的角。
※命题III.31，泰列斯理论，半圆内的直角、锐角与钝角理论。
※命题III.35，在圆内过一个点作出两弦，那么其中一弦的两个截面之乘积等于另一弦的两个截面之乘积。
※命题III.3、III.37，从圆外一点向圆分别作切线和交线，那么切线所构成的正方形等于交线与其圆外线的乘积，反之亦然。
定义
定义III.1 等圆，就是直径或半径相等的圆。
定义III.2 直线与圆相切，就是直线与圆有且只有一个公共点。
定义III.3 两圆相切，就是两圆有且只有一个公共点。
定义III.4 圆心到圆内弦的垂线段相等，称这些弦有相等的弦心距。
定义III.5 当垂线段较长时，称该弦有较大的弦心距。
定义III.6 弓形是由一条弦和一段弧构成的图形。
定义III.7 弓形的角是由弧所对的弦和这段圆弧所夹的角。
定义III.8 在弓形弧上取一点，连接该点与弧的两端点的二直线所夹的角称为弓形角。
定义III.9 而且当夹角的二直线截出一段圆弧时，该角被称为张于弧上的角。
定义III.10 由顶点在圆心角的两边和该两边所截一段圆弧所构成的图形，称为扇形。
定义III.11 包含相等角的弓形称为相似弓形。
命题III.1
给定一个圆可以找到它的圆心。
设：ABC为给定的圆。
现在要求找到ABC的圆心。
令：在圆内任作一条弦AB，作D平分AB。作DC，使之垂直于AB，延长DC至E，在CE上找到该线的平分点F（命题I.10、I.11）。
那么现在我说：F是圆ABC的圆心。
假设不是这样，而假定圆心是G，连接 GA、GD、GB；
那么因为：AD等于DB，DG为共用，那么，AD、DG两边等于对应的BD、DG。
由于：GA、GB皆为半径，所以：GA等于GB；所以：角ADG等于角GDB。（定义I.15 、I.8）；
但是，当一条直线和另一条直线所成的邻角彼此相等时，它们每一个都是直角。所以，角GDB是直角。
又因为：角FDB也是直角，所以：角FDB等于角GDB。大等于小。这是不可能的。
所以：点G不是圆ABC的圆心。
同样，我们也可以证明，除了F以外的任何点皆不是圆心。
所以：F是圆ABC的圆心。
所以：给定一个圆可以找到它的圆心。
证完
推论
以上的证明表明：如果一个圆中的一条弦垂直平分圆中的另一条弦，那么圆心一定位于这条弦上。
命题III.2
如果在圆周上任取两点，连接这两点的线段一定位于该圆内。
设：ABC为给定的圆，圆周上的任意两点为A和B。
那么我说：连接AB，这条线段一定位于该圆内。
假定：不是如此，而是落在圆外如AEB，确定圆ABC的圆心D，连接DA、DB，连接DFE（命题III.1）；
那么因为DA等于DB，角DAE也就等于角DBE（定义I.15、I.5）；
又因为：延长三角形DAE的一边AEB。所以：角DEB就大于角DAE（命题I.16）；但是，角DAE等于角DBE，所以，角DEB大于角DBE。且大角对大边。
从而，DB大于DE，但DB等于DF，所以DF大于DE。小的大于大的，这是不可能的。
所以：AB的连线不在圆外。
同样我们可以证明它也不在圆周上。
所以：AB线只能在圆内。
所以：如果在圆周上任取两点，连接这两点的线段一定位于该圆内。
证完
注解
这一命题的图形相当奇怪，但又是必要的。因为这一命题涉及一种假设的情形，要证明这种假设情形是不可能的。在这一图形中，AEB被假设为是圆外的一条直线。在本卷的其他几个命题中，也有类似的不可能图形出现。
欧几里得留下AB不能位于圆周上的情况给读者自己去证明，其实证明它并不难。
小主，这个章节后面还有哦^.^，请点击下一页继续阅读，后面更精彩！