在一个直角三角形中，两个直角边上的正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积。这就是毕达哥拉斯定理，也叫勾股定理。中国《周髀算经》记载，公元前1100年，周大夫商高指出，夏禹治水（约公元前21世纪）时已经知道用3∶4∶5的办法来构成直角三角形。公元前7世纪左右，中国陈子阐释了用勾股定理测日的方法：“若同邪（同斜）至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日……十万里。”
本卷论述立体几何。
各个部分
康定斯基以精妙的构图技巧，在画面的各个部分以不同的色彩描绘着各种重叠与变化。每一个部分都有自己的法则，每一个法则又在这个整体中发挥着巨大的冲击力，从而使整幅图充满梦幻般的视觉感。
本卷提要
※定义XI.14，球体的定义。
※定义XI.25，正多面体的定义。
※命题XI.3，两个平面的交集是一条直线。
※命题XI.6，两条垂直于同一平面的直线相互平行。
※命题XI.11、XI.12，作垂直于一个平面的直线。
基 普
早在远古时代，人类就已具备了识别事物多寡的能力。这样原始的数觉，经过漫长的演进，逐渐形成了“数”的概念。当对数的认识越来越明确时，人们感到有必要以一定的方式来表达事物的这一属性，于是就产生了记数。这是古代南美印加部落用来记事的绳结，当时人们称之为基普。较粗的绳子上拴有各色的细绳，细绳上各种不同的结表示不同的事物和数目。
※命题XI.14，两个垂直于同一直线的平面相互平行。
※命题XI.23，怎么建一个立体角。
※命题XI.39，棱柱的量。
定义
定义XI.1 立体有长、宽和高。
定义XI.2 立体之表为面。
定义XI.3 一条直线与平面相交，当平面上与之相交的所有直线皆与它成直角时，称该直线与平面成直角。
定义XI.4 在两相交平面之一内作直线与交线成直角，当此直线与另一平面成直角时，则称两平面相交成直角。
定义XI.5 一条直线与平面相交，过直线上一点向平面作垂线，那么该直线与连接交点和垂足的连线所形成的角，称为直线与平面的倾角。
定义XI.6 在两个相交平面的交线上任取一点，经过此点在两个平面内作交线的垂线，二垂线所夹的锐角成为两平面的倾角。
定义XI.7 一对平面倾角与另一对平面倾角相等时，称它们有相似倾角。
定义XI.8 总不相交的两个平面称为平行平面。
定义XI.9 相等个数的相似平面构成的立体图形称为相似立体图形。
定义XI.10 相似且相等并个数相等的平面构成的立体图形称为相似且相等的立体图形。
定义XI.11 不在同一平面内多于两条线且交于一点的线全体构成的图形称为立体角。换句话说，由不在同一个平面内且多于两个，又交于一点的平面角所构成的图形称为立体角。
定义XI.12 几个交于一点的面及另外一个构成的图形，在此面与交点之间的部分称为棱锥。
定义XI.13 棱柱是一个立体图形，它由一些平面构成，其中两个面相对、相等、相似、平行，且其他各面为平行四边形。
定义XI.14 固定一个半圆的直径，旋转半圆到起点位置时所形成的图形称为球。
定义XI.15 球的轴是半圆绕成球时的不动直径。
定义XI.16 球心是半圆的圆心。
定义XI.17 球的直径是过球心的任意直线被球面所截出的线段。
定义XI.18 固定直角三角形的一条直角边，旋转直角三角形到起点位置，所形成的图形称为圆锥。
如果固定的一直角边与另一直角边相等，所形成的圆锥称为直角圆锥；如果小于另一边，则称为钝角圆锥；如果大于另一边则称为锐角圆锥。
定义XI.19 直角三角形绕成圆锥时，不动的那条直角边称为圆锥的轴。
定义XI.20 直角三角形的另一边经旋转后所成的圆面称为圆锥的底。
定义XI.21 固定矩形的一边，绕这一边旋转矩形到起点位置，所形成的图形称为圆柱。
定义XI.22 矩形绕成圆柱时的不动边，称为圆柱的轴。
穆斯林的宇宙论
公元7世纪阿拉伯半岛的伊斯兰国家掀起一股翻译狂潮。他们把当时所有能够搜集到的文献翻译成阿拉伯文，以至今日在阿拉伯的数学中我们可以窥见印度及希腊思想对其产生的影响。阿拉伯人综合和发展了前人的研究，并诱发了基础性的研究，特别是代数学和几何学。明确认识到几何问题可以用代数方式来表示，几何方法可以转化为代数算法等思想皆是阿拉伯人的贡献。图为16世纪洛克曼的土耳其手稿《历史的珍宝》。手稿描绘了穆斯林的宇宙论，每个“行星”都对应一位先知，包括摩西和耶稣。越过黄道十二宫和月宫，可以看到天使的天国、天堂之门及推动宇宙的天使们。
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