公元6世纪，印度数学家阿耶波多出版了《阿耶波提亚》一书。这本书由33首诗组成。第一首是祝福词，接着是平方、立方、平方根的计算规则。其中有17首与几何学有关，11首诗与算术和代数有关。他在第10首诗里阐述了圆周率的值：π=62832/20000=3.1416。这是他之后1000年内最精确的数字。
本卷继续论述立体几何。重点在立体的测量。
不可能的世界
埃舍尔常常在自己的作品中运用射影几何及平面几何的结构，这是对非欧几里得几何学精髓的集中反映。
本卷提要
※命题XII.2，圆的面与它们直径上的正方形成比例。
※命题XII.6、XII.7，一个三角形棱柱可以分成三个等量的棱锥，等底等高的棱锥是棱柱的三分之一。
※命题XII.10，一个圆锥是等底等高圆柱的三分之一。
※命题XII.11，圆柱与圆锥与它们的高成比例。
※命题XII.18，球的量。
命题XII.1
圆内接相似多边形之比等于该圆直径上的正方形之比。
设：ABC、FGH是两个圆，ABCDE 和FGHKL是内接于圆的相似多边形。BM、GN分别为圆的直径。
那么我说：BM上的正方形比GN上的正方形等于多边形ABCDE比FGHKL。
连接BE、AM、GL和FN。
那么因为：多边形ABCDE相似于多边形FGHKL，所以：角BAE等于角GFL，且BA比AE等于GF比FL（定义VI.1）。
于是：三角形BAE、GFL有一个角相等，即角BAE等于角GFL，它们的夹边成比例，所以：三角形ABE与三角形FGL是等角三角形。所以：角AEB等于角FLG（命题VI.6）。
又，角AEB等于角AMB，因为:它们在同一圆周上，且角FLG等于角FNG，所以角AMB等于角FNG。但直角BAM也等于直角GFN，所以：其余的角也相等。
所以：三角形ABM与三角形FGN是等角三角形（命题III.31、I.32）。
所以：它们成比例，BM比GN等于BA比GF（命题VI.4）。
又，BM上的正方形比GN上的正方形是BM与GN的二次比，且多边形ABCDE比FGHKL是BA与GF的二次比（命题VI.20）。
所以：BM上的正方形比GN上的正方形等于多边形ABCDE比多边形FGHKL。
所以：圆内接相似多边形之比等于该圆直径上的正方形之比。
证完
注解
命题VI.20陈述相似多边形的比是它们对应边的平方比，所以，需要找出对应边与外接圆的直径的比。
这一命题是为下一个命题做的准备，在下一个命题中，证明圆与它们直径为边的正方形之比。其联系是圆可以被认为是多边形的无限靠近，所以如果多边形与正方形成比例，那么圆也与正方形成比例。这一命题的严格性受到质疑。
命题XII.2
圆与圆之比等于直径上的正方形之比。
设：ABCD、EFGH是圆，BD、FH为它们的直径。
那么我说：圆ABCD比EFGH等于BD上的正方形比FH上的正方形。
因为：如果BD上的正方形比FH上的正方形不等于圆ABCD比EFGH，那么，BD上的正方形比FH上的正方形等于圆ABCD比小于圆EFGH的面积或者大于圆EFGH的面积。
首先，令成比例的面积S小于圆EFGH。
令：正方形EFGH内接于圆EFGH，那么，内接正方形大于圆EFGH的一半，因为，如果过点E、F、G、H作圆的切线，那么，正方形EFGH等于圆外切正方形的一半，而圆小于外切正方形，于是：正方形EFGH大于圆EFGH的一半（命题IV.6、III.17）。
过点K、L、M、N二等分圆弧EF、FG、GH、HE。连接EK、KF、FL、LG、GM、MH、HN、NE。
莫佩蒂北极考察成功
17世纪，特别是1730年前，欧洲大陆的学术界被勒内·笛卡儿的物理学支配。笛卡儿断言：地球在赤道地带平坦。但牛顿的物理学却认为：地球在两极处平坦。1736至1737年，法国科学院派出两支考察队，一支到瑞典境内的北极圈，另一支到赤道地带，通过大地测量以确定孰是孰非。莫佩蒂带领的北极考察队在拉普兰地区的大地测量得以探明地球在两极处平坦，这印证了牛顿观点的正确。图为莫佩蒂穿戴着北方服饰，以祝贺北极考察的成功。
于是：三角形EKF、FLG、GMH、HNE的每一个也大于三角形所在的弓形的一半，因为：如果过点K、L、M、N向圆作切线，在线段EF、FG、GH、HE上作平行四边形，那么，三角形EKF、FLG、GMH、HNE的每一个皆是所在平行四边形的一半，同时，包含它的弓形小于它所在的平行四边形，于是：三角形EKF、FLG、GMH、HNE皆大于它们所在弓形的一半（命题III.17）。
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