1623年，伽利略在《分析家》中说道：“这是一部关于哲学的著作。这里，我指的就是我们眼前的宇宙。但是，如果没有第一个人像本书那样去理解宇宙的内部性质以及去描述宇宙的特征，那么，我们就不能理解宇宙。本书使用数学的语言，用三角、圆和其他几何图形来描述宇宙的几何特征。只有这样，人类才能理解宇宙。否则，人类就只能像是进入了迷宫一般，左右徘徊。”
本卷仍然论述立体几何，重点是正多面体的作图。
黑网
康定斯基摒弃了绘画中一切描绘性元素，纯粹以抽象的线条与色彩来表达内在精神。他认为艺术创作的目的并不在于捕捉对象的外形，而是在于捕捉其内在精神。
本卷提要
※命题XIII.9，建圆内的六面体和十面体。黄金比率。
※命题XIII.10，建六面体和十面体的内切圆。黄金比率。
※命题XIII.11，当五面体、六面体、十面体内接于一圆，五面体的一边上的正方形等于六面体的边上的正方形之和，也等于十面体边上的正方形之和。
※命题XIII.13、XIII.14、XIII.15、XIII.16、XIII.17，建各种正多面体形。
※命题XIII.18，对前面五个正多面体进行比较。
命题XIII.1
如果一条线段被分成中外比，那么，大线段与原线段一半之和上的正方形，等于原线段一半上的正方形的五倍。
设：线段AB在C点被分为中外比，AC为大线。延长线段CA到D，使AD等于AB的一半。
那么我说：CD上的正方形是AD上的正方形的五倍。
在AB、DC上分别建正方形AE、DF，且设在DF上的图形已作成，令FC过G点（命题I.46）。
那么，因为：AB在C点被分为中外比，所以：由AB、BC构成的矩形等于AC上的正方形。又，CE是由AB、BC构成的矩形，且FH是AC上的正方形；所以：CE等于FH（定义VI.3、命题VI.17）。
又，因为：BA是AD的两倍，同时BA等于KA，且AD等于AH，所以：KA也是AH的两倍。
又，KA比AH同于CK比CH，所以：CK是CH的两倍。又，LH、HC之和也是CH的两倍，所以：KC等于LH、HC之和（命题VI.1）。
又，CE已被证明等于HF，所以：AE上的整体正方形等于折尺形MNO。
又，因为：BA是AD的两倍，所以：BA上的正方形等于AD上的正方形的四倍，即，AE等于DH的四倍。
又，AE等于折尺形MNO，所以：折尺形MNO也是AP的四倍；所以：整体DF是AP的五倍。
又，DF是DC上的正方形，AP是DA上的正方形，所以：CD上的正方形是DA上的正方形的五倍。
所以：如果一条直线被分成中外比，那么，大线段与原线段一半之和上的正方形，等于原线段一半上的正方形的五倍。
证完
注解
这一命题应用在命题XIII.16 和XIII.17中建二十面体和十二面体的边。
命题XIII.2
如果一条线段上的正方形是它的部分线段为边的正方形的五倍，那么，这些线段的两倍被分成中外比时，其中较长的线是原线的所余部分。
设：线段AB上的正方形是它的部分线段AC上的正方形的五倍，令CD是AC的两倍。
那么我说：当CD被分成中外比时，较大线段是CB。
宇宙的范围
基本粒子物理的最新研究成果，已能让天体物理学家勾勒出大爆炸10-43秒后的宇宙历史轮廓。但现有的物理学知识，还是无法让他们推论自大爆炸后至10-43秒的情况。在“膨胀”结束时，空间中的能量产生夸克、电子、中微子、光子和反粒子的“中子汤”。中子和质子在10-6秒时诞生，固定了宇宙的化学组合。接着氢核和氦核在第三分钟出现，从而宇宙中75%的氢及23%的氦形成。30万年后，电子、氢核和氦核组合成氢原子与氦原子。宇宙从此有材料来制造星系和恒星了。
在AB、CD上分别建正方形AF、CG，在AF上作图形，作出BE（命题I.46）。
现在，因为：BA上的正方形是AC上的正方形的五倍，所以：AF是AH的五倍，所以：折尺形MNO是AH的四倍。
又，因为：DC是CA的两倍，所以：DC上的正方形是CA上的正方形的四倍，即，CG是AH的四倍。而折尺形MNO也是AH的四倍，所以：折尺形MNO等于CG。
又，因为：DC是CA的两倍，同时，DC等于CK，而AC等于CH，所以：KB也等于BH的两倍（命题VI.1）。
又，LH、HB之和也是HB的两倍，所以：KB等于LH、HB之和。
又，总折尺形MNO也被证明等于总CG，所以：余量HF等于BG。
又，BG等于CD、DB构成的矩形，因为，CD等于DG，且HF是CB上的正方形，所以：CD、DB构成的矩形等于CB上的正方形。
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